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平成27年度春季問題

問題15

ノードN1とノードN2で通信を行うデータ伝送網がある。図のようにN1とN2間にノードNを入れてA案、B案で伝送網を構成したとき、システム全体の稼働率の比較として適切なものはどれか。 ここで、各ノード間の経路(パス)の稼働率は、全て等しくρ(0<ρ<1)であるものとする。また、各ノードは故障しないものとする。

ア A案、B案の稼働率の大小関係は、ρの値によって変化する。
イ A案、B案の稼働率は等しい。
ウ A案の方が、B案よりも稼働率が高い。
エ B案の方が、A案よりも稼働率が高い。

ノードN1とノードN2で通信を行うデータ伝送網がある。図のようにN1とN2間にノードNを入れてA案、B案で伝送網を構成したとき、システム全体の稼働率の比較として適切なものはどれか。 ここで、各ノード間の経路(パス)の稼働率は、全て等しくρ(0<ρ<1)であるものとする。また、各ノードは故障しないものとする。

ア A案、B案の稼働率の大小関係は、ρの値によって変化する。
イ A案、B案の稼働率は等しい。
ウ A案の方が、B案よりも稼働率が高い。
エ B案の方が、A案よりも稼働率が高い。

解答：エ

＜解説＞

  1. A案では、N1からN2までは上側と下側(稼働率はp×p=p2)が並列に接続されている。よって全体の稼働率は
    1-(1-p2)×(1-p2)=1-1+2p2-p4=2p2-p4
  2. B案では、N1からN2までは①,③と②,④は直列で接続されているている。よって全体の稼働率は
    (2p-p2)=4p2-4p3+p4
  3. B案の稼働率-A案の稼働率を計算する
    = 4p2-4p3+p4-(2p2-p4)
    = 2p2-4p3+2p4
    = 2p2×(1-2p+p2)
    = 2p2×(1-p)2
  4. 0<p<1なので、(1-p)は0より大きく1より小さい正の値になり、この式の値は常に正となる。

したがって、エが正解である。