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平成17年度秋季問題
問題4
p を2以上の整数とする。任意の整数 n に対して、
n = kp + m (0 ≦ m ＜ p )
を満たす整数 k と m が一意に存在する。この m を n の p による剰余といい、 n mod p で表す。 (-10000) mod 32768 に等しくなるものはどれか。
| ア | -(10000 mod 32768) |
| イ | (-22768) mod 32768 |
| ウ | 10000 mod 32768 |
| エ | 22768 mod 32768 |
p を2以上の整数とする。任意の整数 n に対して、
n = kp + m (0 ≦ m ＜ p )
を満たす整数 k と m が一意に存在する。この m を n の p による剰余といい、 n mod p で表す。 (-10000) mod 32768 に等しくなるものはどれか。
| ア | -(10000 mod 32768) |
| イ | (-22768) mod 32768 |
| ウ | 10000 mod 32768 |
| エ | 22768 mod 32768 |
解答：エ
＜解説＞
| n=kp+m (0≦m＜p)、 m=n mod p m=-kp+n |
| m=-32768k+(-10000) mは、0≦m＜pでなければならないので、ｋが－1の時に条件を満たすｍがある。 m=-32768×(-1)+(-10000)=22768 |
| 剰余22768になるものを解答群から探す。 |
| ア | × | m=-32768k+10000 0≦m<p(=32768)なので，k=0 m=0×32768+10000=10000←10000 mod 32768 ですから，(1)は-10000 |
| イ | × | n mod p= (-22768) mod 32768 m=-32768k+(-22768) 0≦m<p(=32768)なので，k=-1 m=32768-22768=10000 |
| ウ | × | m=-32768k+10000 0≦m<p(=32768)なので，k=0 m=0×32768+10000=10000←10000 mod 32768 ですから，(1)は10000 |
| エ | ○ | m=-32768k+22768 0≦m<p(=32768)なので，k=0 m=0*(-32768)+22768=22768 |
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