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平成27年度秋季問題

問題2

集合A 、B 、C に対してA ∪B ∪C が空集合であるとき、包含関係として適切なものはどれか。ここで、∪は和集合を、∩は積集合を、X はX の補集合を、また、X ⊆Y はX がY の部分集合であることを表す。

ア (A ∩B )⊆C
イ (A ∩B )⊆C
ウ (A ∩B )⊆C
エ (A ∩B )⊆C

集合A 、B 、C に対してA ∪B ∪C が空集合であるとき、包含関係として適切なものはどれか。ここで、∪は和集合を、∩は積集合を、X はX の補集合を、また、X ⊆Y はX がY の部分集合であることを表す。

ア (A ∩B )⊆C
イ (A ∩B )⊆C
ウ (A ∩B )⊆C
エ (A ∩B )⊆C

解答：エ

＜解説＞

集合A,B,Cを含むベン図は次のようになる。

A ∪B ∪C が空集合なので、図の白色の部分(AでもBでもCでもない部分)には値がない。よってこの図でAの補集合=Aとなるのは、③,⑥,⑦の範囲である。

ア × (A ∩B )に該当するのは、②,⑤である。
②はC(④,⑤,⑥,⑦)に含まれない
イ × (A∩B)に該当するのは、A(①,②,④,⑤)とB(①,④,⑦)の席集合である①,④である。
①はC(④,⑤,⑥,⑦)に含まれない。
ウ × (A ∩B )に該当するのは、A(③,⑥,⑦)とB(②,③,⑤,⑥)の積集合である③,⑥である。
③はC(④,⑤,⑥,⑦)に含まれない。
エ ○ (A ∩B )に該当するのは、A(③,⑥,⑦)とB(①,④,⑦)の席集合である⑦だけである。C(④,⑤,⑥,⑦)に含まれる。